Анні Фішер — угорська піаністка єврейського походження. Вона дебютувала у дев’ять років, наприкінці 1923 року, виконавши дві останні частини Першого концерту Людвіга ван Бетховена. Навчалася в Академії музики імені Ференца Ліста у А. Секея та Е. Догнані. У 1928 році виступила в Цюриху на своєму першому міжнародному концерті, а 1933 року здобула першу премію Міжнародного конкурсу імені Ференца Ліста.
Фішер виступала з 1926 року. Вона викладала в Академії музики імені Ференца Ліста, а з 1965 року була професоркою. Публіка цінувала її безпосередню манеру й виразне прочитання творів. Основу репертуару становили твори Моцарта, Бетховена, Шуберта та Шумана; також вона виконувала музику Ліста, Бартока, Кодая та інших угорських композиторів. Гастролювала в Європі, США, СРСР і Канаді.
Фішер відмовлялася видавати концертні записи, вважаючи їх недосконалими, і спершу не хотіла записуватися в студії, бо вважала, що виконання без живої аудиторії буде штучним. Однак від 1977 року вона п’ятнадцять років працювала над студійним записом усіх сонат Бетховена. Цей цикл не вийшов за її життя, але здобув високу оцінку шанувальників класичної музики.
Фішер тричі отримувала премію імені Кошута — у 1949, 1955 та 1965 роках. Вона померла в Будапешті й була похована на цвинтарі Фаркашреті.